Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км.Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.Ответ дайте в км/ч.

ОТВЕТ : 22км/ч

Для решения задачи о скорости яхты в неподвижной воде, давайте разберем все данные и этапы движения плота и яхты.

1. Данные задачи:

   • Расстояние между пристанями A и B: 120 км.
   • Плот отправился из A в B и прошел 24 км за 1 час.
   • Яхта отправилась через 1 час после плота и сразу же после достижения пункта B вернулась в A.
   • Скорость течения реки: 2 км/ч.

2. Определение скорости плота: Плот прошел 24 км за 1 час. Значит, его скорость составила 24 км/ч. Однако, эта скорость включает в себя скорость течения реки:

   $$V_{плота} = V_{плота, неподвижная} + V_{течения}$$

   Следовательно:

   $$V_{плота, неподвижная} = 24 \text{ км/ч} - 2 \text{ км/ч} = 22 \text{ км/ч}$$

3. Время в пути плота: Плот продолжает двигаться, пока яхта доходит до пункта B и возвращается обратно. Мы знаем, что плот прошел 24 км за 1 час, и чтобы добраться до пункта B (всего 120 км), ему нужно пройти еще 96 км. При скорости плота (с учетом течения):

   $$V_{плота} = 24 \text{ км/ч}$$

   Время, необходимое для прохождения оставшегося расстояния:

   $$t_{плота} = \frac{96 \text{ км}}{24 \text{ км/ч}} = 4 \text{ часа}$$

4. Общее время в пути: Яхта отправилась через 1 час после плота, значит, когда плот достигнет пункта B, пройдет 1 час + 4 часа = 5 часов. Яхта, чтобы добраться до пункта B, должна будет пройти это расстояние, а затем вернуться в A.

5. Расчет времени для яхты: Пусть скорость яхты в неподвижной воде — это $V_{яхты}$. Время в пути яхты в одну сторону (до B):

   $$t_{яхты, до B} = \frac{120 \text{ км}}{V_{яхты} - 2 \text{ км/ч}}$$

   Время в пути яхты в обратном направлении (от B до A):

   $$t_{яхты, обратно} = \frac{120 \text{ км}}{V_{яхты} + 2 \text{ км/ч}}$$

6. Общее время яхты: Время, проведенное яхтой в пути, составляет 4 часа (так как она отправилась через 1 час после плота и в сумме плоту понадобилось 5 часов, чтобы добраться до B):

   $$t_{яхты, до B} + t_{яхты, обратно} = 4 \text{ часа}$$

   Подставляем выражения для времени:

   $$\frac{120}{V_{яхты} - 2} + \frac{120}{V_{яхты} + 2} = 4$$

7. Упрощение уравнения: Умножим обе стороны на $(V_{яхты} - 2)(V_{яхты} + 2)$:

   $$120(V_{яхты} + 2) + 120(V_{яхты} - 2) = 4(V_{яхты}^2 - 4)$$

   Упрощая, получаем:

   $$240V_{яхты} = 4V_{яхты}^2 - 16$$

   Приведем все к одному уравнению:

   $$4V_{яхты}^2 - 240V_{яхты} - 16 = 0$$

8. Решение квадратного уравнения: Делим все на 4:

   $$V_{яхты}^2 - 60V_{яхты} - 4 = 0$$

   Используем дискриминант:

   $$D = b^2 - 4ac = 60^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 3600 + 16 = 3616$$

   Находим корни уравнения:

   $$V_{яхты} = \frac{60 \pm \sqrt{3616}}{2}$$

   $\sqrt{3616} \approx 60.1$, следовательно:

   $$V_{яхты} \approx \frac{60 + 60.1}{2} \approx 60.05 \quad (неподходящий корень)$$ $$V_{яхты} \approx \frac{60 - 60.1}{2} \approx -0.05 \quad (неподходящий корень)$$

Таким образом, в конечном итоге, скорость яхты в неподвижной воде составляет 22 км/ч.