Расстояние между пристанями A и B равно 192 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через 3 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 92 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся следующими обозначениями:

• Скорость плота по течению реки равна скорости течения, то есть 4 км/ч.
• Скорость яхты в неподвижной воде обозначим за $v$ км/ч.
• Скорость яхты по течению реки будет $v + 4$ км/ч, а против течения $v - 4$ км/ч.

Для начала найдем, сколько времени плот был в пути, когда яхта вернулась обратно в пункт A. Мы знаем, что к этому времени плот прошел 92 км со скоростью 4 км/ч. Время, затраченное плотом на это, равно:

$t_{плот} = \frac{92}{4} = 23$ часа.

Теперь учтем, что яхта вышла на 3 часа позже плота, таким образом, она была в пути:

$t_{яхта} = 23 - 3 = 20$ часов.

Время, которое яхта затратила на путь от A до B и обратно, включает в себя время движения по течению реки и против течения. Пусть $t_1$ - время в пути от A до B, а $t_2$ - время в пути от B до A. Тогда:

$t_{яхта} = t_1 + t_2 = 20$ часов.

Расстояние от A до B равно 192 км, так что:

1. При движении по течению: $192 = (v + 4) \cdot t_1$ $t_1 = \frac{192}{v + 4}$

2. При движении против течения: $192 = (v - 4) \cdot t_2$ $t_2 = \frac{192}{v - 4}$

Теперь у нас есть система уравнений:

$\frac{192}{v + 4} + \frac{192}{v - 4} = 20$

Решим это уравнение относительно $v$, чтобы найти скорость яхты в неподвижной воде. Для этого преобразуем уравнение и решим его:

$\frac{192(v - 4) + 192(v + 4)}{(v + 4)(v - 4)} = 20$

$384v = 20(v^2 - 16)$

$20v^2 - 384v - 320 = 0$

$v^2 - 19.2v - 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение.

Решения уравнения: $v = -0.8$ и $v = 20$. Очевидно, скорость не может быть отрицательной, поэтому отрицательное значение не имеет физического смысла в данной задаче. Таким образом, скорость яхты в неподвижной воде составляет 20 км/ч. ​​