Расстояние между пристанями A и B равно 126 км. Из A в B по течению реки
отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в
пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот
прошел 34 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость
течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч

Задача состоит из нескольких частей, и для её решения давайте разберемся поэтапно.

1. Обозначим переменные:

   • Пусть скорость плота в стоячей воде равна 0 км/ч (поскольку плот движется только за счет течения реки).
   • Обозначим скорость яхты в неподвижной воде как $v$ км/ч.
   • Скорость течения реки равна 2 км/ч.

2. Расстояния и время:

   • Из условия задачи известно, что расстояние между пристанями A и B равно 126 км.
   • Плот отправился из точки A в точку B, а через 1 час за ним отправилась яхта.
   • К моменту, когда яхта достигла пункта B и вернулась обратно в A, плот прошел 34 км.

3. Время движения плота: Плот движется со скоростью течения реки, то есть со скоростью 2 км/ч. За 1 час, пока яхта не отправилась, плот прошел 2 км (скорость плота * время = 2 км/ч * 1 час).

   После этого плот двигался ещё некоторое время, пока яхта вернулась в A. Он прошел 34 км, так что в остаток пути плот проделал 34 км - 2 км = 32 км.

4. Время, которое плот потратил на прохождение оставшихся 32 км: Для того чтобы вычислить время, которое плот потратил на преодоление этих 32 км, используем его скорость (2 км/ч):

   $$t_{\text{плот}} = \frac{32 \, \text{км}}{2 \, \text{км/ч}} = 16 \, \text{часов}.$$

5. Общее время для яхты: Яхта в момент отправления после 1 часа (когда плот прошел уже 2 км) отправилась в путь. Время, которое яхта потратила на весь путь, равно времени, которое потратил плот на прохождение оставшихся 32 км плюс время, которое яхта затратила на обратный путь:

   $$t_{\text{яхта}} = 1 \, \text{час} + 16 \, \text{часов} = 17 \, \text{часов}.$$

6. Определим скорость яхты: Когда яхта пришла в B и сразу развернулась, она проделала путь туда и обратно, то есть 126 км + 126 км = 252 км. Яхта двигалась со скоростью $v + 2$ км/ч (по течению) на пути к B и со скоростью $v - 2$ км/ч (против течения) на пути обратно.

   Время на путь к B составит:

   $$t_{\text{вперед}} = \frac{126}{v + 2}.$$

   Время на путь обратно:

   $$t_{\text{назад}} = \frac{126}{v - 2}.$$

   Общее время для яхты:

   $$t_{\text{всего}} = t_{\text{вперед}} + t_{\text{назад}} = \frac{126}{v + 2} + \frac{126}{v - 2}.$$

7. Решаем уравнение для времени: Из условия мы знаем, что общее время, которое яхта потратила на весь путь, равно 17 часов:

   $$\frac{126}{v + 2} + \frac{126}{v - 2} = 17.$$

   Умножим обе части уравнения на $(v + 2)(v - 2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

   $$126(v - 2) + 126(v + 2) = 17(v + 2)(v - 2).$$

   Раскроем скобки:

   $$126v - 252 + 126v + 252 = 17(v^2 - 4).$$

   Упростим:

   $$252v = 17(v^2 - 4).$$

   Раскроем правую часть:

   $$252v = 17v^2 - 68.$$

   Переносим все на одну сторону:

   $$17v^2 - 252v - 68 = 0.$$

   Решаем это квадратное уравнение. Для этого используем дискриминант:

   $$D = (-252)^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-68) = 63504 + 4624 = 68128.$$

   Корни уравнения:

   $$v = \frac{-(-252) \pm \sqrt{68128}}{2 \cdot 17} = \frac{252 \pm 260}{34}.$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$v = \frac{252 + 260}{34} = \frac{512}{34} \approx 15.06 \, \text{км/ч},$$ $$v = \frac{252 - 260}{34} = \frac{-8}{34} \approx -0.24 \, \text{км/ч}.$$

   Отрицательная скорость невозможна, значит, искомая скорость яхты в неподвижной воде равна примерно 15.06 км/ч.

Ответ: скорость яхты в неподвижной воде составляет примерно 15 км/ч.