Расстояние между пристанями A и B равно 90 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 52 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача представляет собой типичную задачу на движение с течением реки, где нужно найти скорость моторной лодки в неподвижной воде.

Дано:

• Расстояние между пристанями A и B: 90 км.
• Плот отправился из A в B по течению реки, и через 1 час вслед за ним отправилась моторная лодка.
• Когда лодка достигла пристани B, она сразу же повернула и вернулась в A.
• Плот за это время проплыл 52 км.
• Скорость течения реки (скорость потока) равна 4 км/ч.

Обозначим:

• $v_л$ — скорость моторной лодки в неподвижной воде (которую нужно найти).
• $v_п$ — скорость плота, равная скорости течения реки, то есть 4 км/ч.
• $t_л$ — время, за которое лодка совершит полный путь туда и обратно (из A в B и обратно в A).

Решение:

1. Скорость плота по течению: Плот двигается по течению, его скорость равна скорости течения реки, то есть 4 км/ч.

2. Движение плота за 1 час: За 1 час плот пройдет расстояние, равное его скорости, т.е. 4 км.

3. Ситуация через 1 час: Через 1 час лодка стартует из A и догоняет плот. За этот час плот успевает пройти 4 км, то есть он уже находится на расстоянии 4 км от точки A.

   Таким образом, плот должен пройти оставшиеся $52 - 4 = 48$ км до пристани B.

4. Время, которое потребуется лодке, чтобы добраться до B: Лодка движется со скоростью $v_л + 4$ км/ч по течению. За время, равное $t_п$, лодка должна пройти расстояние 90 км. Таким образом, время, которое потребуется лодке, чтобы дойти до B, можно выразить как:

   $$t_п = \frac{90}{v_л + 4}$$

5. Возвращение лодки в A: Лодка возвращается в A против течения, и её скорость будет равна $v_л - 4$ км/ч. Время для обратного пути можно выразить как:

   $$t_обрат = \frac{90}{v_л - 4}$$

6. Время, которое потребуется плоту для преодоления оставшихся 48 км: Плот продолжает движение по течению, его скорость равна 4 км/ч. Время, которое потребуется плоту для того, чтобы проплыть оставшиеся 48 км, равно:

   $$t_плот = \frac{48}{4} = 12 \, \text{часов}.$$

7. Полное время лодки: Лодка вернется в A в момент, когда плот проплывет оставшиеся 48 км и будет находиться в точке B. Таким образом, общее время, которое понадобится лодке для выполнения пути туда и обратно, будет равно времени, которое понадобилось плоту для прохождения оставшихся 48 км, плюс 1 час (время, которое прошло с момента старта плота до старта лодки):

   $$t_л = t_п + t_обрат = 12 \, \text{часов} + 1 \, \text{час} = 13 \, \text{часов}.$$

8. Уравнение для скорости лодки: Теперь подставим выражения для времени в уравнение:

   $$t_л = \frac{90}{v_л + 4} + \frac{90}{v_л - 4}.$$

   Заменим $t_л = 13$ и решим это уравнение:

   $$13 = \frac{90}{v_л + 4} + \frac{90}{v_л - 4}.$$

9. Приведение к общему знаменателю: Приводим дроби к общему знаменателю:

   $$13 = \frac{90(v_л - 4) + 90(v_л + 4)}{(v_л + 4)(v_л - 4)}.$$

   Упростим:

   $$13 = \frac{90(v_л - 4 + v_л + 4)}{v_л^2 - 16} = \frac{180v_л}{v_л^2 - 16}.$$

   Умножим обе стороны на $v_л^2 - 16$:

   $$13(v_л^2 - 16) = 180v_л.$$

   Раскроем скобки:

   $$13v_л^2 - 208 = 180v_л.$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$13v_л^2 - 180v_л - 208 = 0.$$

   Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-180)^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-208) = 32400 + 10816 = 43216.$$ $$v_л = \frac{-(-180) \pm \sqrt{43216}}{2 \cdot 13} = \frac{180 \pm 208}{26}.$$