Расстояние между пристанями A и B равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 30 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч.

Давайте решим задачу поэтапно.

1. Определим скорость плота. Поскольку плот движется только за счёт течения, его скорость равна скорости течения реки, то есть 5 км/ч.

2. Время движения плота. Известно, что к моменту, когда плот проплыл 30 км, лодка вернулась в пункт А. Значит, плот двигался 30 км со скоростью 5 км/ч. Используем формулу:

   $$t_{\text{плота}} = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}} = \frac{30}{5} = 6 \text{ часов}.$$

   Следовательно, с момента отправления плота и до возвращения лодки в А прошло 6 часов.

3. Время движения лодки. Лодка отправилась из пункта А через 1 час после плота. Значит, лодка двигалась в общей сложности $6 - 1 = 5$ часов.

4. Скорость лодки по течению и против течения. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде за $v$. Тогда:

   • Скорость лодки по течению равна $v + 5$ км/ч.
   • Скорость лодки против течения равна $v - 5$ км/ч.

5. Расстояния, пройденные лодкой по течению и против течения. Лодка, следуя по течению, прошла расстояние от А до В, равное 60 км, затем сразу повернула обратно и прошла ещё 60 км против течения. Таким образом, общее расстояние, которое преодолела лодка, составляет $60 + 60 = 120$ км.

6. Составим уравнение для времени лодки. Общее время движения лодки равно 5 часам, поэтому можем составить уравнение:

   $$\frac{60}{v + 5} + \frac{60}{v - 5} = 5.$$

7. Решим уравнение. Найдём общий знаменатель и упростим уравнение:

   $$60(v - 5) + 60(v + 5) = 5(v + 5)(v - 5),$$ $$60v - 300 + 60v + 300 = 5(v^2 - 25),$$ $$120v = 5v^2 - 125,$$ $$5v^2 - 120v - 125 = 0,$$ $$v^2 - 24v - 25 = 0.$$

8. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:

   $$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676,$$ $$v = \frac{24 \pm \sqrt{676}}{2} = \frac{24 \pm 26}{2}.$$

   Получаем два значения для $v$:

   $$v_1 = \frac{24 + 26}{2} = 25, \quad v_2 = \frac{24 - 26}{2} = -1.$$

   Поскольку скорость не может быть отрицательной, берём $v = 25$ км/ч.

Ответ: скорость лодки в неподвижной воде равна 25 км/ч.