Как правильно решить неравенство (6x+2)/(x+4)<5?

Чтобы решить неравенство $\frac{6x + 2}{x + 4} > 0$, следуем пошагово:

Шаг 1: Определение области допустимых значений

Для того чтобы дробь была определена, знаменатель $x + 4$ не должен равняться нулю. То есть:

Таким образом, область допустимых значений для переменной — все значения $x$, кроме $-4$.

Шаг 2: Определение знаков числителя и знаменателя

Нужно понять, при каких значениях $x$ дробь будет больше нуля. Для этого разделим неравенство на два компонента: числитель и знаменатель.

1. Числитель: $6x + 2$.

   • Числитель положителен, если $6x + 2 > 0$, что можно решить:

   $$6x + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad 6x > -2 \quad \Rightarrow \quad x > -\frac{1}{3}.$$

   То есть числитель положителен при $x > -\frac{1}{3}$.

2. Знаменатель: $x + 4$.

   • Знаменатель положителен, если $x + 4 > 0$, что можно решить:

   $$x + 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > -4.$$

   Знаменатель положителен при $x > -4$.

Шаг 3: Определение знаков дроби

Теперь рассмотрим, при каких значениях $x$ дробь $\frac{6x + 2}{x + 4}$ будет положительной. Это возможно, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

1. Числитель и знаменатель оба положительные:

   • Числитель положителен при $x > -\frac{1}{3}$.

   • Знаменатель положителен при $x > -4$.

   • Совпадение этих условий: $x > -\frac{1}{3}$.

2. Числитель и знаменатель оба отрицательные:

   • Числитель отрицателен при $x < -\frac{1}{3}$.

   • Знаменатель отрицателен при $x < -4$.

   • Совпадение этих условий: $x < -4$.

Шаг 4: Объединение условий

Итак, дробь будет положительной в двух интервалах:

При этом точка $x = -4$ исключена, так как она делает знаменатель равным нулю, а точка $x = -\frac{1}{3}$ не входит в решение, так как в этой точке дробь равна нулю, а не больше нуля.

Ответ:

Неравенство $\frac{6x + 2}{x + 4} > 0$ решается на интервалах: