Неравенство — это утверждение о том, что одно число (или выражение) больше или меньше другого. В отличие от равенства «=», которое говорит «значения одинаковы», неравенство задаёт порядок между значениями.

Виды и знаки

• Строгие:
  $a$ — «a меньше b», $a>b$ — «a больше b».
  Используются, когда граница не включается.

• Нестрогие:
  $a\le b$ — «a меньше либо равно b», $a\ge b$ — «a больше либо равно b».
  Граница включается.

• Иногда встречается «$a\ne b$» — это неравенство «не равно», но оно не говорит, кто больше, а кто меньше, только исключает равенство.

Как правильно записывать

1. Ясно указывать знак: $<, \le, >, \ge$. Пример: $3x-5<7$.

2. Держать неизвестное слева, если так удобнее читать: $x>2$ вместо $2$ — оба верны, но первый обычно понятнее.

3. Двойные неравенства: когда переменная зажата между двумя числами.
   Пример: $1$ читается «x больше 1 и одновременно меньше либо равен 4».

4. Системы и союзы:

   • Система (И): $\begin{cases}x>1\\x\le 4\end{cases}$ — то же, что $1$.

   • Объединение (ИЛИ): $x<-2\ \text{или}\ x\ge 5$.

Основные правила преобразований

Эти действия сохраняют эквивалентность решениям (не меняют множество решений), если применять их корректно.

1. Сложение/вычитание одного и того же:
   Если $a$, то $a+c$. Пример: из $3x<10$ вычесть 2: $3x-2<8$.

2. Умножение/деление на положительное число:
   Если $a$ и $c>0$, то $ac$ и $a/c$a/c<b/c.
   Пример: $3x<12\Rightarrow x<4$ (делим на $3>0$).

3. Умножение/деление на отрицательное число — знак меняется на противоположный:
   Если $a$ и $c<0$, то $ac>bc$ и $a/c>b/c$.
   Пример: $-2x\le 6\Rightarrow x\ge -3$ (делим на $-2$ и переворачиваем «$\le$» в «$\ge$»).

4. Умные функции: монотонные функции сохраняют или переворачивают порядок.

   • Если $f$ возрастает (например, $f(x)=x+5,\ 2x,\ \sqrt{x}$ на $x\ge0$, $\ln x$ на $x>0$), то из $a$ следует $f(a)$.

   • Если $f$ убывает (например, $f(x)=-x$, $1/x$ на $x>0$), знак меняется.
     Осторожно с возведением в квадрат: на $x\ge0$ функция $x^2$ возрастает, а на $x\le0$ убывает, поэтому слепо «квадратить» обе части нельзя без учёта знаков и области.

5. Транзитивность: из $a$ и $b$ следует $a$.