Найдите область определения y= корень квадратный из 4x-x в квадрате

Чтобы найти область определения функции $y = \sqrt{4x - x^2}$, нужно учесть, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа в действительных числах не существует.

1. Запишем подкоренное выражение:

   $$4x - x^2$$

   Это выражение должно быть больше или равно нулю, т.е.:

   $$4x - x^2 \geq 0$$

2. Перепишем неравенство в стандартном виде:

   $$-x^2 + 4x \geq 0$$

   Умножим обе стороны неравенства на $-1$ (при этом знак неравенства поменяется):

   $$x^2 - 4x \leq 0$$

3. Разложим левую часть на множители:

   $$x(x - 4) \leq 0$$

4. Теперь решим это неравенство. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x(x - 4) = 0$. Корни: $x = 0$ и $x = 4$.

5. На числовой оси отметим точки $x = 0$ и $x = 4$ и исследуем знак выражения $x(x - 4)$ на трех интервалах: $(-\infty, 0)$, $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$.

   • На интервале $(-\infty, 0)$ выражение $x(x - 4)$ будет положительным.

   • На интервале $(0, 4)$ выражение $x(x - 4)$ будет отрицательным.

   • На интервале $(4, +\infty)$ выражение $x(x - 4)$ снова будет положительным.

6. Нам нужно, чтобы выражение было меньше или равно нулю, то есть, положительное или нулевое значение достигается на интервале $[0, 4]$.

Таким образом, область определения функции $y = \sqrt{4x - x^2}$ — это отрезок $[0, 4]$.