На бильярдном столе лежат 8 одноцветных и 8 полосатых шаров . Все шары разные . Лёша хочет взять со стола 5 одноцветных шаров и 6 полосатых . Сколько разных наборов у него может получиться ?

Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны использовать комбинаторику, в частности, комбинации. Комбинация — это способ выбора объектов из группы, где порядок не имеет значения.

Для начала рассмотрим одноцветные шары. У нас есть 8 одноцветных шаров, и Лёше нужно выбрать 5 из них. Количество способов, которыми он может это сделать, определяется как число комбинаций из 8 по 5. Формула для расчета количества комбинаций из $n$ по $k$ (обозначается как $C(n, k)$) равна $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ где $n!$ (читается как "эн факториал") это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$.

Таким образом, для одноцветных шаров: $C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!}$

Теперь рассмотрим полосатые шары. У нас есть 8 полосатых шаров, и Лёше нужно выбрать 6 из них. По аналогии, количество способов выбрать 6 шаров из 8 равно: $C(8, 6) = \frac{8!}{6!(8-6)!}$

Чтобы найти общее количество различных наборов, которые может взять Лёша, нужно перемножить количество комбинаций одноцветных шаров и количество комбинаций полосатых шаров: $\text{Общее количество наборов} = C(8, 5) \times C(8, 6)$

Давайте вычислим это.

Количество различных способов, которыми Лёша может выбрать 5 одноцветных шаров из 8, равно 56. Количество способов выбрать 6 полосатых шаров из 8 равно 28. Таким образом, общее количество различных наборов, состоящих из 5 одноцветных и 6 полосатых шаров, которые Лёша может сформировать, равно $56 \times 28 = 1568$.

Итак, Лёша может получить 1568 различных наборов шаров. ​​