Петя сосчитал числа 1*2, 2*3, 3*4 , …, 998*999,999*1000. У скольких из них последние две цифры — нули?

Чтобы решить эту задачу, нужно понять, при каких условиях произведение двух последовательных чисел (например, $n$ и $n+1$) будет заканчиваться двумя нулями. Это значит, что число должно делиться на 100, чтобы его последние две цифры были равны нулям.

Шаг 1. Условия делимости на 100

Для того чтобы произведение $n \cdot (n+1)$ делилось на 100, оно должно делиться на 4 и на 25 одновременно (так как $100 = 4 \times 25$).

1. Кратность 4: Одно из чисел $n$ или $n+1$ обязательно будет чётным, потому что они идут подряд. Для того чтобы произведение делилось на 4, достаточно, чтобы одно из этих чисел делилось на 4.

2. Кратность 25: Для того чтобы произведение делилось на 25, одно из чисел $n$ или $n+1$ должно делиться на 25.

Таким образом, произведение $n \cdot (n+1)$ будет делиться на 100, если:

• Одно из чисел $n$ или $n+1$ делится на 4.
• Одно из чисел $n$ или $n+1$ делится на 25.

Шаг 2. Выбор чисел от 1 до 1000

Нам нужно рассмотреть все числа $n$ от 1 до 999, потому что Петя считает произведения $n \cdot (n+1)$ вплоть до $999 \cdot 1000$.

Шаг 3. Подсчёт подходящих чисел

Теперь нам нужно выяснить, сколько раз встречаются такие пары $n$ и $n+1$, где одно из чисел делится на 4, а другое на 25. Для этого:

1. Кратные 4: В диапазоне от 1 до 1000 каждое четвёртое число делится на 4, то есть таких чисел 250 (например, $4, 8, 12, \dots, 1000$).

2. Кратные 25: В диапазоне от 1 до 1000 каждое двадцать пятое число делится на 25, то есть таких чисел 40 (например, $25, 50, 75, \dots, 1000$).

Шаг 4. Подсчёт подходящих пар чисел

Теперь нужно найти, сколько таких пар чисел $n \cdot (n+1)$, где одно число делится на 4, а другое — на 25, чтобы произведение делилось на 100.

Чтобы выполнить это условие, можно заметить, что в каждой сотне (например, от 1 до 100, от 101 до 200 и так далее до 901–1000) будет ровно одно число, которое одновременно делится на 4 и на 25, образуя пару, кратную 100. Таким образом, в каждой сотне чисел есть одна такая пара, подходящая под условие задачи.

Итог

Так как в диапазоне от 1 до 1000 ровно 10 сотен, то и таких пар будет 10.

Ответ: последние две цифры равны нулям у 10 произведений в последовательности $1 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3 \cdot 4, \dots, 999 \cdot 1000$.