Решить неравенство 2x² - 2x + 0,5 < 0.

Для решения неравенства $2x^2 - 2x + 0.5 < 0$ начнем с преобразования его в более удобный вид.

1. Поделим все на 2, чтобы упростить коэффициенты:

   $$x^2 - x + 0.25 < 0$$

2. Теперь решим соответствующее квадратное уравнение:

   $$x^2 - x + 0.25 = 0$$

   Для нахождения корней этого уравнения используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   В нашем случае $a = 1$, $b = -1$, $c = 0.25$. Подставляем в формулу:

   $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(0.25)}}{2(1)}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 1}}{2} = \frac{1 \pm 0}{2}$$

   Таким образом, уравнение имеет один корень:

   $$x = \frac{1}{2}$$

3. Анализируем знак функции. Это квадратное неравенство имеет вид:

   $$x^2 - x + 0.25 < 0$$

   Мы знаем, что у этого квадратного выражения есть один корень $x = \frac{1}{2}$, и функция $f(x) = x^2 - x + 0.25$ — это парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен.

4. Поскольку парабола открывается вверх и её вершина лежит на точке $x = \frac{1}{2}$, то функция $f(x)$ не может быть меньше нуля для любого значения $x$. Вершина параболы достигает минимального значения в точке $x = \frac{1}{2}$, и это значение равно нулю (так как $f\left(\frac{1}{2}\right) = 0$).

5. Таким образом, неравенство $x^2 - x + 0.25 < 0$ не имеет решений, так как функция $f(x)$ всегда неотрицательна и равна нулю только в точке $x = \frac{1}{2}$.

Ответ: Решений нет.