1) Решите неравенство, используя метод интервалов: а) (x+9)(x-5)>0 б) (x-3)/(x+6)<0 2) Решите уравнение: а) x³-49x=0 б) x²+3/4 - (17-3x)/8 = 2 в) x⁴-17x²+16=0 3) При каких значениях t уравнение 25x²+tx+1=0 не имеет корней? 4) Найти область определения функции y=√(5x-2x²)

Для решения неравенств методом интервалов, нам нужно будет определить, на каких промежутках значение выражения положительное, а на каких отрицательное. Начнем с каждого из неравенств поочередно.

а) (x+9)(x-5) > 0

1. Нахождение корней:
   В данном случае, чтобы выражение было равно нулю, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю:

   • $x + 9 = 0 \Rightarrow x = -9$

   • $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

   Таким образом, корни уравнения — это $x = -9$ и $x = 5$.

2. Определение интервалов:
   Эти корни делят ось на три интервала:

   • $(-\infty, -9)$

   • $(-9, 5)$

   • $(5, \infty)$

3. Тестирование знаков:
   Чтобы определить, на каких интервалах произведение положительное, подставим в выражение по одному числу из каждого интервала:

   • Для интервала $(-\infty, -9)$: возьмем $x = -10$. Подставляем в выражение:

     $$(-10 + 9)(-10 - 5) = (-1)(-15) = 15 > 0$$

     Произведение положительное.

   • Для интервала $(-9, 5)$: возьмем $x = 0$. Подставляем в выражение:

     $$(0 + 9)(0 - 5) = (9)(-5) = -45 < 0$$

     Произведение отрицательное.

   • Для интервала $(5, \infty)$: возьмем $x = 6$. Подставляем в выражение:

     $$(6 + 9)(6 - 5) = (15)(1) = 15 > 0$$

     Произведение положительное.

4. Решение неравенства:
   Мы ищем такие значения $x$, при которых произведение больше нуля, то есть положительное. Положительные значения на интервалах $(-\infty, -9)$ и $(5, \infty)$, но на $-9$ и $5$ произведение равно нулю, а значит, эти точки не входят в решение.

   Ответ: $x \in (-\infty, -9) \cup (5, \infty)$.

б) $\frac{x-3}{x+6} > 0$

1. Нахождение значений, при которых выражение равно нулю или неопределено:

   • Числитель равен нулю при $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

   • Знаменатель равен нулю при $x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$.

   Таким образом, критические точки: $x = 3$ (выражение равно нулю) и $x = -6$ (выражение неопределено).

2. Определение интервалов:
   Эти точки делят ось на следующие интервалы:

   • $(-\infty, -6)$

   • $(-6, 3)$

   • $(3, \infty)$

3. Тестирование знаков:
   Подставим значения в выражение для каждого интервала:

   • Для интервала $(-\infty, -6)$: возьмем $x = -7$. Подставляем в выражение:

     $$\frac{-7 - 3}{-7 + 6} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0$$

     Выражение положительное.

   • Для интервала $(-6, 3)$: возьмем $x = 0$. Подставляем в выражение:

     $$\frac{0 - 3}{0 + 6} = \frac{-3}{6} = -0.5 < 0$$

     Выражение отрицательное.

   • Для интервала $(3, \infty)$: возьмем $x = 4$. Подставляем в выражение:

     $$\frac{4 - 3}{4 + 6} = \frac{1}{10} = 0.1 > 0$$

     Выражение положительное.

4. Решение неравенства:
   Мы ищем такие значения $x$, при которых выражение больше нуля. Положительные значения на интервалах $(-\infty, -6)$ и $(3, \infty)$, но на $x = -6$ выражение неопределено, а на $x = 3$ оно равно нулю.

   Ответ: $x \in (-\infty, -6) \cup (3, \infty)$.