Решите уравнение 2sin(x/3) = 1.

Для решения уравнения $2\sin\left(\frac{x}{3}\right) = 1$, следуем шаг за шагом.

1. Изолируем синус:
   Разделим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от коэффициента 2:

   $$\sin\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{1}{2}.$$

2. Найдем аргумент синуса:
   Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$. Поэтому у нас есть решение:

   $$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{6}.$$

3. Учтем все возможные решения:
   Синус равен $\frac{1}{2}$ не только при $\frac{x}{3} = \frac{\pi}{6}$, но и в точках, симметричных относительно $\frac{\pi}{2}$, а именно:

   $$\frac{x}{3} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}.$$

   Поскольку синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, то общее решение будет:

   $$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

4. Решим для $x$:
   Умножим обе части каждого уравнения на 3, чтобы выразить $x$:

   $$x = 3\left(\frac{\pi}{6} + 2k\pi\right) = \frac{\pi}{2} + 6k\pi$$

   или

   $$x = 3\left(\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\right) = \frac{5\pi}{2} + 6k\pi.$$

5. Ответ:
   Общее решение уравнения:

   $$x = \frac{\pi}{2} + 6k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{2} + 6k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$