Выяснить, является ли геометрической прогрессией последовательность, заданная формулой n-го члена: Xn=(2/3)^(2n)

Для того чтобы выяснить, является ли последовательность, заданная формулой $X_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n}$, геометрической прогрессией, необходимо проверить несколько условий, которые должны быть выполнены для геометрической прогрессии.

1. Общее свойство геометрической прогрессии:
   Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждый следующий элемент получается умножением предыдущего на постоянное число, которое называется общим знаменателем или знаменателем прогрессии. То есть для последовательности $X_1, X_2, X_3, \dots$ должно выполняться следующее равенство:

   $$\frac{X_{n+1}}{X_n} = q,$$

   где $q$ — постоянное значение для всех $n$.

2. Исходная формула:
   Последовательность задана формулой:

   $$X_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n}.$$

   Для проверки, является ли эта последовательность геометрической прогрессией, нужно рассмотреть два соседних члена последовательности и вычислить их отношение.

   Рассмотрим два последовательных члена:

   $$X_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n}, \quad X_{n+1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2(n+1)}.$$

   Теперь вычислим отношение:

   $$\frac{X_{n+1}}{X_n} = \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{2(n+1)}}{\left(\frac{2}{3}\right)^{2n}} = \left(\frac{2}{3}\right)^{2(n+1) - 2n} = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}.$$

3. Постоянное отношение:
   Мы видим, что отношение двух последовательных членов равно $\frac{4}{9}$, и это отношение не зависит от $n$, то есть оно постоянное.

Таким образом, последовательность, заданная формулой $X_n = \left(\frac{2}{3}\right)^{2n}$, является геометрической прогрессией с общим знаменателем $q = \frac{4}{9}$.