Надо найти наибольшее целочисленное решение: \(\log_7 (6x - 9) < \log_7 (2x + 3)\).

Рассмотрим неравенство $\log_7 (6x - 9) < \log_7 (2x + 3)$.

Шаг 1: Применение свойства логарифмов

Поскольку основание логарифма одинаковое (7), можно избавиться от логарифмов, сохраняя знак неравенства. Для этого нужно, чтобы выражения под логарифмами были положительными и выполнялось следующее:

Решим каждое из этих неравенств:

1. $6x - 9 > 0 \Rightarrow 6x > 9 \Rightarrow x > \frac{9}{6} = 1.5$

2. $2x + 3 > 0 \Rightarrow 2x > -3 \Rightarrow x > -\frac{3}{2}$

Таким образом, для того чтобы логарифмы имели смысл, необходимо, чтобы $x > 1.5$.

Шаг 2: Убираем логарифмы

Поскольку логарифмические функции монотонны (они возрастают), неравенство $\log_7 (6x - 9) < \log_7 (2x + 3)$ эквивалентно следующему:

Шаг 3: Решение полученного линейного неравенства

Решим неравенство $6x - 9 < 2x + 3$:

1. Переносим все $x$-термы влево, а числа вправо:

2. Упростим:

3. Разделим обе части на 4:

Шаг 4: Совмещение условий

Теперь у нас есть два условия:

1. $x > 1.5$ (из условий существования логарифмов),

2. $x < 3$ (из решения неравенства).

Таким образом, решение неравенства: $1.5 < x < 3$.

Шаг 5: Наибольшее целочисленное решение

Поскольку нас просят найти наибольшее целочисленное решение, видим, что наибольшее целое число, которое удовлетворяет данному интервалу, это $x = 2$.

Ответ: наибольшее целочисленное решение — $x = 2$.