Решите неравенство \(\log_7 (2 - x) \leq \log_7 (3x + 6)\).

Для решения неравенства $\log_7 (2 - x) \leq \log_7 (3x + 6)$ будем учитывать свойства логарифмов и анализировать выражения внутри логарифмов.

Шаг 1. Условия существования логарифмов

Прежде чем продолжить решение неравенства, важно, чтобы аргументы логарифмов были положительными, так как логарифм определен только для положительных чисел.

1. $\log_7 (2 - x)$ существует, если $2 - x > 0 \Rightarrow x < 2$.

2. $\log_7 (3x + 6)$ существует, если $3x + 6 > 0 \Rightarrow x > -2$.

Таким образом, $x$ должен удовлетворять системе: $-2 < x < 2$.

Шаг 2. Используем свойство логарифмов

Так как основание логарифма $7$ больше 1, то функция $\log_7(x)$ возрастает, и неравенство можно решить, приравняв аргументы логарифмов. Таким образом, для $\log_7 (2 - x) \leq \log_7 (3x + 6)$ необходимо, чтобы:

Шаг 3. Решаем полученное неравенство

Переносим все слагаемые, содержащие $x$, на одну сторону, а остальные числа — на другую:

Шаг 4. Совместим условия

Теперь у нас есть два условия:

1. $-2 < x < 2$ (из условий существования логарифмов),

2. $x \geq -1$ (из решения неравенства).

Таким образом, совмещение этих условий даёт промежуток:

Ответ:

Решением неравенства $\log_7 (2 - x) \leq \log_7 (3x + 6)$ является интервал $x \in [-1, 2)$.