Найдите трёхзначное натуральное число, которое при делении на 4 и на 15 даёт равные нулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр.

Для того чтобы найти искомое трёхзначное натуральное число, давайте поэтапно разберем задачу.

1. Условие делимости на 4 и 15:

   • Число должно быть делимо на 4. Для этого последние две цифры числа должны быть делимы на 4.

   • Число также должно быть делимо на 15. Поскольку 15 = 3 × 5, то число должно быть делимо на 3 и на 5. Для делимости на 5 последняя цифра числа должна быть либо 0, либо 5. Для делимости на 3 сумма цифр числа должна быть кратна 3.

2. Условие среднего арифметического:
   Средняя цифра числа должна быть средним арифметическим крайних цифр. Обозначим трёхзначное число как $abc$, где $a$ — первая цифра, $b$ — вторая (средняя), и $c$ — третья (последняя) цифра. Тогда условие средней цифры будет:

   $$b = \frac{a + c}{2}.$$

   Это означает, что сумма первой и последней цифры должна быть четным числом, чтобы средняя цифра была целым числом.

Теперь попробуем решить задачу, проверяя числа, которые соответствуют этим условиям.

Шаги решения:

1. Число должно быть делимо на 4. Это значит, что последние две цифры должны быть делимы на 4.

2. Число должно быть делимо на 15. Поскольку 15 делится на 5, последняя цифра числа должна быть 0 или 5.

3. Средняя цифра должна быть средним арифметическим крайних цифр.

Пробуем числа, удовлетворяющие этим условиям:

После перебора возможных чисел, подходящих под эти критерии, находим, что искомое число — это 240.

• Оно делится на 4 (последние две цифры — 40, делятся на 4).

• Оно делится на 15 (делится на 5, так как последняя цифра 0, и сумма цифр 2 + 4 + 0 = 6 делится на 3).

• Средняя цифра 4 является средним арифметическим крайних цифр: $\frac{2 + 0}{2} = 4$.

Таким образом, правильный ответ — 240.