Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 7 даёт остаток 5, а при делении на 9 даёт остаток 4.

Пусть $n \equiv 5 \pmod 7$, тогда $n=5+7k$.

Подставим во второе условие:

Обратный к $7$ по модулю $9$ — это $4$, потому что $7\cdot4=28\equiv1\pmod9$.
Тогда

Минимальное $k=5$, значит

Проверка: $40\equiv5\pmod7$ и $40\equiv4\pmod9$.
Искомое наименьшее число: 40.