Найдите трехзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 дает равные ненулевые остатки.

Для решения задачи нужно найти трехзначное натуральное число больше 400, которое при делении на 6 и на 5 дает равные ненулевые остатки.

Обозначим это число за $N$. Мы знаем, что остатки при делении на 6 и 5 должны быть одинаковыми и ненулевыми. Пусть остаток равен $r$, то есть:

• $N \mod 6 = r$,

• $N \mod 5 = r$.

Так как остатки при делении на 6 и на 5 одинаковы и ненулевые, то $r$ должно быть в пределах от 1 до 4 (так как при делении на 6 остатки могут быть от 0 до 5, а при делении на 5 — от 0 до 4). Таким образом, $r$ может быть равен 1, 2, 3 или 4.

Теперь, чтобы найти такое число, воспользуемся свойствами деления с остатками. Рассмотрим систему:

Эти две congruences (совместные остатки) означают, что число $N$ при делении на 6 и на 5 дает одинаковый остаток $r$, следовательно, $N - r$ должно быть кратно и 6, и 5, то есть:

Значит, $N - r$ должно быть кратно 30. Таким образом, $N = 30k + r$, где $k$ — целое число. Мы ищем трехзначное число $N > 400$, то есть:

Рассмотрим возможные значения $r$:

• Для $r = 1$: $30k + 1 > 400$, то есть $30k > 399$, $k > 13.3$, следовательно, $k \geq 14$. Тогда $N = 30 \times 14 + 1 = 421$.

• Для $r = 2$: $30k + 2 > 400$, то есть $30k > 398$, $k > 13.27$, следовательно, $k \geq 14$. Тогда $N = 30 \times 14 + 2 = 422$.

• Для $r = 3$: $30k + 3 > 400$, то есть $30k > 397$, $k > 13.23$, следовательно, $k \geq 14$. Тогда $N = 30 \times 14 + 3 = 423$.

• Для $r = 4$: $30k + 4 > 400$, то есть $30k > 396$, $k > 13.2$, следовательно, $k \geq 14$. Тогда $N = 30 \times 14 + 4 = 424$.

Теперь проверим, что для каждого найденного числа остатки при делении на 6 и 5 равны.

Для $N = 421$:

• $421 \div 6 = 70$ (остаток 1),

• $421 \div 5 = 84$ (остаток 1).

Для $N = 422$:

• $422 \div 6 = 70$ (остаток 2),

• $422 \div 5 = 84$ (остаток 2).

Для $N = 423$:

• $423 \div 6 = 70$ (остаток 3),

• $423 \div 5 = 84$ (остаток 3).

Для $N = 424$:

• $424 \div 6 = 70$ (остаток 4),

• $424 \div 5 = 84$ (остаток 4).

Таким образом, числа 421, 422, 423 и 424 являются решениями задачи.