Найдите наименьшее значение функции \( y = (2x + 15) \cdot e^{2x + 16} \).

Чтобы найти наименьшее значение функции $y = (2x + 15) \cdot e^{2x + 16}$, начнем с того, что нужно найти производную функции и найти критические точки.

Шаг 1. Находим производную функции

Используем правило дифференцирования произведения функций. Пусть у нас есть функция вида $y = u(x) \cdot v(x)$, где $u(x) = (2x + 15)$ и $v(x) = e^{2x + 16}$.

Производная функции по правилу произведения будет вычисляться как:

Сначала находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

• Производная $u(x) = 2x + 15$ равна $u'(x) = 2$.

• Для $v(x) = e^{2x + 16}$ производная будет $v'(x) = e^{2x + 16} \cdot 2$, так как производная экспоненты $e^{kx}$ равна $e^{kx} \cdot k$, где $k$ — константа.

Теперь подставим это в формулу для производной:

Упростим:

Шаг 2. Находим критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Поскольку экспоненциальная функция $e^{2x + 16}$ никогда не равна нулю, остаётся приравнять к нулю выражение $4x + 32$:

Шаг 3. Проверяем, является ли $x = -8$ минимумом

Для этого вычислим вторую производную функции.

Первая производная уже была:

Теперь находим вторую производную $y''$, используя правило произведения:

Для этого снова применяем правило произведения: