Найдите наименьшее значение функции \( y = (x-10)^2 \cdot (x+1) + 3 \) на отрезке \([5; 14]\).

Рассмотрим $y=(x-10)^2(x+1)+3$ на $[5,14]$.

Найдём критические точки:

Отсюда $y'=0$ при $x=10$ и $x=\tfrac{8}{3}$. Из них в отрезок $[5,14]$ попадает только $x=10$.

Проверим значения в концах и в критической точке:

Так как $y(10)=3$ — наименьшее из этих значений, причём при $x<10$ $y'<0$ и при $x>10$ $y'>0$, точка $x=10$ даёт минимум.

Наименьшее значение функции на $[5,14]$ равно $3$ (достигается при $x=10$).