Найти стороны прямоугольного треугольника, если один из его катетов на 14 см меньше другого, а гипотенуза равна 34 см.

Для нахождения сторон прямоугольного треугольника, где один из катетов на 14 см меньше другого, а гипотенуза равна 34 см, можно воспользоваться теоремой Пифагора.

1. Обозначим катеты треугольника как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$.
   По условию задачи гипотенуза $c = 34$ см, и один катет на 14 см меньше другого, то есть $a = b - 14$.

2. Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника выполняется равенство:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$

   Подставим известные значения:

   $$(b - 14)^2 + b^2 = 34^2$$ $$(b - 14)^2 + b^2 = 1156$$

3. Раскроем скобки и упростим уравнение:

   $$(b^2 - 28b + 196) + b^2 = 1156$$ $$2b^2 - 28b + 196 = 1156$$ $$2b^2 - 28b - 960 = 0$$

4. Разделим все элементы уравнения на 2:

   $$b^2 - 14b - 480 = 0$$

5. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-480) = 196 + 1920 = 2116$$ $$b = \frac{-(-14) \pm \sqrt{2116}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 46}{2}$$

6. Получаем два возможных значения для $b$:

   $$b = \frac{14 + 46}{2} = 30 \quad \text{или} \quad b = \frac{14 - 46}{2} = -16$$

   Так как длина стороны не может быть отрицательной, выбираем $b = 30$.

7. Тогда $a = b - 14 = 30 - 14 = 16$.

Таким образом, стороны прямоугольного треугольника: один катет $a = 16$ см, второй катет $b = 30$ см, гипотенуза $c = 34$ см.