Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, а его гипотенуза равна 41 м. Найдите площадь треугольника. (9 класс, нужно систему составить)

Для того чтобы решить задачу, нам нужно воспользоваться теоремой Пифагора и формулой площади прямоугольного треугольника. Давайте пошагово составим систему и решим задачу.

Обозначим катеты треугольника через $a$ и $b$. Из условия задачи мы знаем, что сумма катетов равна 49 м, а гипотенуза $c$ равна 41 м. То есть у нас есть два уравнения:

1. $a + b = 49$ (сумма катетов)

2. $a^2 + b^2 = 41^2$ (теорема Пифагора)

Подставим значение гипотенузы:

2. $a^2 + b^2 = 1681$

Теперь решим эту систему.

Шаг 1. Выразим один катет через другой

Из первого уравнения можно выразить $b$ через $a$:

$b = 49 - a$

Шаг 2. Подставим это в уравнение Пифагора

Теперь подставим выражение для $b$ во второе уравнение:

$a^2 + (49 - a)^2 = 1681$

Раскроем скобки:

$a^2 + (49^2 - 2 \cdot 49 \cdot a + a^2) = 1681$

Упростим:

$a^2 + 2401 - 98a + a^2 = 1681$

Соберем подобные члены:

$2a^2 - 98a + 2401 = 1681$

Шаг 3. Упростим уравнение

Переносим 1681 на левую сторону:

$2a^2 - 98a + 2401 - 1681 = 0$

$2a^2 - 98a + 720 = 0$

Шаг 4. Решим квадратное уравнение

Чтобы решить квадратное уравнение, поделим все коэффициенты на 2:

$a^2 - 49a + 360 = 0$

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360 = 2401 - 1440 = 961$

Корни уравнения:

$a = \frac{-(-49) \pm \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{49 \pm 31}{2}$

Таким образом, получаем два возможных значения для $a$:

$a = \frac{49 + 31}{2} = 40$

или

$a = \frac{49 - 31}{2} = 9$

Шаг 5. Найдем значение $b$

Теперь, зная $a$, найдем $b$ по формуле $b = 49 - a$.

Если $a = 40$, то $b = 49 - 40 = 9$.

Если $a = 9$, то $b = 49 - 9 = 40$.

Таким образом, катеты треугольника равны 9 м и 40 м.

Шаг 6. Найдем площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

Подставим значения катетов:

Ответ: площадь треугольника равна 180 м².