Какие условия должны выполняться при решении показательных неравенств?

При решении показательных неравенств важно соблюдать несколько базовых условий и правил — именно от них зависит, можно ли преобразовывать неравенство и как трактовать знак «<, >, ≤, ≥».

1) Корректность показательной функции

• Основание показателя должно быть положительным и не равно 1:
  $a>0,\; a\neq 1$ (и аналогично для другого основания $b$, если оно есть).

• Любое выражение вида $a^{f(x)}$ при $a>0,\; a\neq 1$ определено для любых $x$ (дополнительная область определения не нужна, если нет других функций).

2) Монотонность показательной функции

• Если $a>1$, функция $y=a^{x}$ возрастает ⇒ сохраняет знак неравенства при замене $a^{f(x)}$ на $f(x)$.

  • Пример: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$ при $a>1$.

• Если $0$, функция $y=a^{x}$ убывает ⇒ знак меняется на противоположный.

  • Пример: $a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$ при $0$.

3) Приведение к общему основанию (по возможности)

• Если удаётся представить обе части с одним и тем же основанием $a$ (или его степенью), используйте правило монотонности из п.2 для перехода к неравенству между показателями.

4) Логарифмирование (как монотонное преобразование)

• Логарифмировать можно обе стороны, если они строго положительны:

  $$A(x)>0,\; B(x)>0.$$

• Основание логарифма $c$ выбирайте с учётом монотонности:

  • при $c>1$ знак сохраняется;

  • при $0$ знак меняется.

• На практике безопаснее брать $\ln$ (натуральный логарифм): он возрастает, значит знак сохраняется при $\ln A(x)$ и $\ln B(x)$.

• Нельзя логарифмировать, если хотя бы одна сторона $\le 0$.

5) Замены вида $t=a^{x}$

• Часто неравенство с суммами/произведениями показательных выражений сводят заменой $t=a^{x}$ (или $t=a^{f(x)}$) при условии $t>0$.

• После решения полученного алгебраического неравенства обязательно вернуться к $x$ и учесть $t>0$.

6) Операции со знаками и множителями

• При умножении/делении обеих частей неравенства на выражение $M(x)$:

  • если $M(x)>0$ — знак сохраняется;

  • если $M(x)<0$ — знак меняется;

  • если знак $M(x)$ неизвестен, сначала разбивайте на случаи по знаку $M(x)$ или избегайте такой операции.

• Подстановка степенных тождеств (например, $a^{2x}=(a^{x})^{2}$) допустима, но помните: возведение в чётную степень не сохраняет порядок на $\mathbb{R}$ без дополнительных условий (поэтому лучше работать через монотонные функции или замену $t>0$).

7) Учёт дополнительных ограничений из контекста

• Если в неравенстве присутствуют логарифмы, корни, дроби и т.п., сначала задайте область допустимых значений (ОДЗ):

  • для $\log_{c} F(x)$: $F(x)>0,\; c>0,\; c\neq 1$;

  • для $\sqrt[n]{F(x)}$ (при чётном $n$): $F(x)\ge 0$;

  • для знаменателей: выражения под знаменателем $\neq 0$.

8) Типичные стратегии решения

• Приведение к одному основанию и переход к сравнениям показателей (п.2–3).

• Логарифмирование обеих частей (п.4), когда основания разные и неудобны.

• Замена $t=a^{x}\,(>0)$ для рационализации выражений (п.5).

• Анализ монотонности функции $F(x)=a^{f(x)}-b^{g(x)}$ или использование сравнений вида $a^{f(x)}\;{\lessgtr}\;k$ через $\ln$.

• Разбиение на случаи, если знак множителей/оснований меняется по области (п.6).

9) Проверка ответа

• В конце обязательно:

  1. учесть все введённые ОДЗ;

  2. проверить пограничные значения при «$\le$»/«$\ge$»;

  3. исключить посторонние решения, появившиеся из-за неравносильных преобразований.

Коротко: главные условия — положительность и «неединичность» оснований, корректность логарифмирования (положительность аргументов), учёт монотонности (при $a>1$ знак сохраняется, при $0$