Разрежьте квадрат 7×7 клеток на возможно большее число различных прямоугольников, проводя разрезы по границам клеток.

Ищем разбиение на прямоугольники с целыми сторонами по линиям сетки, при этом никакие два прямоугольника не должны иметь одинаковые размеры (пара сторон считается без учёта поворота: $a\times b$ и $b\times a$ — одно и то же).

Конструкция на 9 различных прямоугольников (достижимо)

Сделаем горизонтальные «полосы» высот 3, 2, 1 и 1 (сверху вниз: $3+2+1+1=7$). Внутри каждой полосы режем на отрезки разной длины так, чтобы суммы ширин давали 7, а размеры всех прямоугольников в итоговой мозаике были попарно различны.

1. Полоса высоты 3 (верхние 3 ряда): ширины 4, 2 и 1.
   Прямоугольники: $3\times4$, $3\times2$, $3\times1$.

2. Под ней полоса высоты 2: ширины 4, 2 и 1.
   Прямоугольники: $2\times4$, $2\times2$, $2\times1$.

3. Третья полоса высоты 1: ширины 6 и 1.
   Прямоугольники: $1\times6$, $1\times1$.

4. Нижняя полоса высоты 1: ширина 7 (цельная).
   Прямоугольник: $1\times7$.

Итого 9 прямоугольников с размерами:

Лёгко проверить, что среди них нет совпадающих по размерам (мы специально избегали пар-«поворотов» вида $1\times2$ и $2\times1$, $1\times3$ и $3\times1$ и т. п.).

Как это нарисовать на сетке 7×7:
— проведите горизонтальные разрезы после 3-й и 5-й строки, затем ещё один разрез после 6-й строки;
— в верхней полосе (3 строки) — вертикальные разрезы после 4-го и 6-го столбцов;
— во второй полосе (2 строки) — тоже после 4-го и 6-го столбцов;
— в третьей полосе (1 строка) — после 6-го столбца;
— нижняя полоса (1 строка) не режется.

Почему больше 9 не получить (эскиз довода)

1. Каждая горизонтальная полоса фиксированной высоты $h$ разбивается на прямоугольники с попарно различными ширинами, сумма которых равна 7. Минимальная сумма четырёх разных положительных целых — $1+2+3+4=10>7$. Значит в одной полосе не больше 3 прямоугольников.

2. Если полос всего 3 или меньше, то максимум $3+3+3=9$. Чтобы попытаться получить 10, нужна как минимум 4 полосы.

3. При 4 полосах сумма их высот равна 7, значит хотя бы две полосы имеют высоту 1. В полосе высоты 1 возможны только разбиения $7$, $6+1$, $5+2$, $4+3$, $4+2+1$; причём в разных полосах высоты 1 нельзя повторять те же ширины (иначе появятся одинаковые прямоугольники $1\times w$). Отсюда две такие полосы дают не более 4 прямоугольников вместе (например, $6+1$ и $5+2$ или $4+3$ и $5+2$).

4. Оставшаяся высота равна 5. Её можно распределить максимум на две полосы. Каждая из них даёт не более 3 прямоугольников, но одновременно нужно избегать «поворотных» совпадений с уже полученными $1\times w$, что неизбежно отнимает хотя бы один вариант. В результате суммарный предел остаётся не выше 9.

Таким образом, 9 — это и нижняя оценка (показано конструкцией), и верхняя оценка (обозначенный запрет на 10 и более), т. е. максимально возможное число — 9.