Решить неравенства 1. корень из 3x-2 < 5 2. корень из x^2-x< √2

1. Решим неравенство: $\sqrt{3x - 2} < 5$

Для решения этого неравенства начнем с того, что извлекаем квадрат из обеих сторон. Однако, чтобы это сделать корректно, нужно сначала определить область допустимых значений для выражения внутри корня.

Шаг 1: Определим область допустимых значений

Выражение $\sqrt{3x - 2}$ определено, если $3x - 2 \geq 0$. Решим неравенство:

Таким образом, область допустимых значений для $x$ — $x \geq \frac{2}{3}$.

Шаг 2: Извлекаем квадрат из обеих сторон

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части неравенства в квадрат. Получим:

Шаг 3: Решим полученное неравенство

Шаг 4: Объединяем область допустимых значений и решение

Мы знаем, что $x \geq \frac{2}{3}$ и одновременно $x < 9$, поэтому объединяя эти два условия, получаем:

Таким образом, решение первого неравенства: $\frac{2}{3} \leq x < 9$.

2. Решим неравенство: $\sqrt{x^2 - x} < \sqrt{2}$

Для начала определим область допустимых значений для выражения под корнем.

Шаг 1: Определим область допустимых значений

Выражение $\sqrt{x^2 - x}$ определено, если $x^2 - x \geq 0$. Решим неравенство:

Корни этого неравенства — $x = 0$ и $x = 1$. Поскольку это неравенство вида произведения двух множителей, определим знаки каждого из них в различных интервалах:

• Когда $x < 0$, оба множителя $x$ и $x - 1$ отрицательные, произведение положительное.

• Когда $0 < x < 1$, множитель $x$ положительный, а $x - 1$ отрицательный, произведение отрицательное.

• Когда $x > 1$, оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, $x^2 - x \geq 0$ при $x \leq 0$ или $x \geq 1$.

Шаг 2: Решим неравенство

Возведем обе части неравенства в квадрат:

Приводим неравенство к стандартному виду:

Решим квадратное неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ методом нахождения корней. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение:

Корни этого уравнения можно найти через дискриминант: