Решите уравнение: y³+3у²-у-3=0

Чтобы решить уравнение $y^3 + 3y^2 - y - 3 = 0$, начнем с поиска возможных корней.

1. Применим метод подбора целых корней (теорема о целых корнях):
   Теорема говорит, что целые корни многочлена могут быть делителями свободного члена (в нашем случае это -3) и делителями старшего коэффициента (в нашем случае это 1). То есть возможные целые корни: $\pm 1, \pm 3$.

2. Проверим $y = 1$:
   Подставляем $y = 1$ в уравнение:

   $$1^3 + 3(1^2) - 1 - 3 = 1 + 3 - 1 - 3 = 0.$$

   Таким образом, $y = 1$ — корень уравнения.

3. Разделим многочлен на $(y - 1)$:
   Теперь мы можем разделить $y^3 + 3y^2 - y - 3$ на $y - 1$ с помощью деления многочленов.

   $$y^3 + 3y^2 - y - 3 = (y - 1)(y^2 + 4y + 3).$$

4. Решим квадратное уравнение $y^2 + 4y + 3 = 0$:
   Для решения этого уравнения используем формулу для корней квадратного уравнения:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$

   где $a = 1$, $b = 4$, $c = 3$. Подставляем значения:

   $$y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2}.$$

   Таким образом, корни:

   $$y = \frac{-4 + 2}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y = \frac{-4 - 2}{2} = -3.$$

5. Ответ:
   Уравнение $y^3 + 3y^2 - y - 3 = 0$ имеет три корня: $y = 1, y = -1, y = -3$.