Решите систему уравнений: 3х2+у=4 2х2-у=1 (первая система) 2х2=3у2=11 4х2=6х2=11х (вторая)

Первая система

1. Сложим уравнения, чтобы избавиться от $y$:

   $$3x^{2}+y+2x^{2}-y=4+1 \;\Longrightarrow\; 5x^{2}=5 \;\Longrightarrow\; x^{2}=1, \quad x=\pm1.$$

2. Найдём $y$, подставив $x^{2}=1$ во второе уравнение:

   $$2\cdot1-y=1 \;\Longrightarrow\; y=1.$$

3. Проверка во втором уравнении даёт ту же пару значений, так что решений ровно два:

   $$(x,y)=(1,1),\;(-1,1).$$

Вторая система

1. Заметим, что левая часть второго уравнения ― ровно удвоенная левая часть первого:

   $$4x^{2}+6y^{2}=2\bigl(2x^{2}+3y^{2}\bigr).$$

   Поэтому

   $$11x=2\cdot11 \;\Longrightarrow\; 11x=22 \;\Longrightarrow\; x=2.$$

2. Подставим $x=2$ в первое уравнение:

   $$2\cdot(2)^{2}+3y^{2}=11 \;\Longrightarrow\; 8+3y^{2}=11 \;\Longrightarrow\; 3y^{2}=3 \;\Longrightarrow\; y^{2}=1, \quad y=\pm1.$$

3. Проверка во втором уравнении выполняется автоматически, потому что мы выводили $x$ из соотношения между уравнениями.

   Решения:

   $$(x,y)=(2,1),\;(2,-1).$$

Ответ

• Первая система: $(1,1)$ и $(-1,1)$.

• Вторая система: $(2,1)$ и $(2,-1)$.