В треугольнике ABC AC=BC, AB=8, синус угла BAC=0,5. Найдите высоту AH.

В треугольнике ABC известно, что AC = BC (треугольник равнобедренный), AB = 8, а синус угла ∠BAC = 0,5. Нужно найти высоту AH, опущенную из вершины A на основание BC.

1. Из условия задачи синус угла ∠BAC равен 0,5. Мы знаем, что синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Таким образом, из синуса угла можно найти половину длины основания BC.

2. Поскольку синус угла ∠BAC = 0,5, это значит, что угол ∠BAC равен 30° (так как синус 30° = 0,5). Это говорит о том, что треугольник ABC имеет угол 30° при вершине A.

3. В равнобедренном треугольнике, где угол между боковыми сторонами (AC и BC) равен 30°, высота AH делит основание BC пополам, то есть BH = HC. Поскольку AB = 8, то длина основания BC также равна 8.

4. Теперь, зная, что высота AH делит основание пополам, можно применить теорему о синусе в прямоугольном треугольнике. Для треугольника ABH, угол ∠BAH = 30° и AB = 8. Мы можем найти высоту AH, используя формулу:

   $$\sin(30^\circ) = \frac{\text{AH}}{AB}$$

   Подставляем известные значения:

   $$0,5 = \frac{\text{AH}}{8}$$

5. Решаем для AH:

   $$\text{AH} = 0,5 \times 8 = 4$$

Таким образом, высота AH в треугольнике ABC равна 4.