При каких значениях п можно представить в виде квадрата двучлена выражение: а) х² – пх + 16; б) пх² – 12х + 4? Решить методом выделения квадрата двучлена: 1. 5х² + 3х – 8 = 0; 2. х² – 8х – 9 = 0.

Для того чтобы представить двучлен в виде квадрата, нужно выделить полный квадрат. Рассмотрим каждый из случаев.

Задание (а) $x^2 - px + 16$

Данный двучлен можно представить в виде квадрата, если его можно привести к виду $(x - a)^2$, где $a$ — некоторое число. Чтобы это сделать, разложим его:

$x^2 - px + 16$

Для того чтобы это выражение стало полным квадратом, нам нужно выделить квадрат. Вспомним, как выглядит разложение полного квадрата:

Чтобы наш двучлен стал квадратом, он должен быть похож на $x^2 - 2ax + a^2$, где $-p = -2a$, а $16 = a^2$. Из этого можно найти, что:

1. $p = 2a$

2. $a^2 = 16$, следовательно, $a = 4$ или $a = -4$.

Теперь подставим $a = 4$ или $a = -4$:

1. Если $a = 4$, то $p = 2 \times 4 = 8$.

2. Если $a = -4$, то $p = 2 \times (-4) = -8$.

Таким образом, двучлен $x^2 - px + 16$ можно представить в виде квадрата, если $p = 8$ или $p = -8$.

Задание (б) $px^2 - 12x + 4$

Теперь рассмотрим второй двучлен $px^2 - 12x + 4$.

Для выделения квадрата, опять же, нужно привести его к форме $(ax + b)^2$, где $a$ и $b$ — некоторые числа. В этом случае у нас есть $px^2 - 12x + 4$.

Сначала выделим $x^2$-член, представив его в виде $(x - b)^2$, где $(ax)^2 = px^2$. Значит, $a = \sqrt{p}$, а $b$ определяется следующим образом:

Если привести выражение к виду $(ax - b)^2 = ax^2 - 2abx + b^2$, то по сравнению коэффициентов:

1. $2ab = 12$, то есть $ab = 6$, отсюда $b = \frac{6}{a}$.

2. $b^2 = 4$, отсюда $b = 2$ или $b = -2$.

Подставляем $b = 2$ или $b = -2$ в уравнение $ab = 6$:

1. Если $b = 2$, то $a \times 2 = 6$, отсюда $a = 3$. Значит, $p = a^2 = 9$.

2. Если $b = -2$, то $a \times (-2) = 6$, отсюда $a = -3$. Значит, $p = a^2 = 9$.

Таким образом, двучлен $px^2 - 12x + 4$ можно представить в виде квадрата, если $p = 9$.

Задача 1: Решение уравнения методом выделения квадрата

Уравнение: $5x^2 + 3x - 8 = 0$

Для выделения квадрата перенесем все в одну сторону:

Теперь разделим обе части на 5: