Найдите наибольшее значение функции: y = 2x² - 10x + 6lnx + 5 на отрезке [10/11;12/11]

Чтобы найти наибольшее значение функции $y = 2x^2 - 10x + 6\ln x + 5$ на отрезке $\left[\frac{10}{11}; \frac{12}{11}\right]$, выполним следующие шаги:

1. Найдем производную функции

Для поиска экстремумов функции на данном отрезке, сначала найдем её производную. Функция $y = 2x^2 - 10x + 6\ln x + 5$ состоит из нескольких слагаемых, производную каждого из которых можно рассчитать по отдельности:

1. Производная $2x^2$ равна $4x$.
2. Производная $-10x$ равна $-10$.
3. Производная $6\ln x$ равна $\frac{6}{x}$.
4. Производная константы $5$ равна $0$.

Тогда общая производная функции $y'$ будет:

2. Найдем критические точки внутри отрезка

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

Решим это уравнение:

1. Приведем все слагаемые к общему знаменателю:

   $$4x^2 - 10x + 6 = 0$$

2. Решим это квадратное уравнение. Оно имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 4$, $b = -10$, $c = 6$. Найдем дискриминант:

   $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 100 - 96 = 4$$

3. Найдем корни уравнения:

   $$x = \frac{-(-10) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 4} = \frac{10 \pm 2}{8}$$

   Тогда $x_1 = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ и $x_2 = \frac{8}{8} = 1$.

Проверим, попадают ли найденные точки на наш отрезок $\left[\frac{10}{11}; \frac{12}{11}\right]$. Видим, что ни одна из них не лежит в данном отрезке, так как $x_1 = \frac{3}{2}$ и $x_2 = 1$ находятся за его пределами.

3. Проверим значения функции на границах отрезка

Поскольку внутри отрезка критических точек нет, для нахождения максимума функции на отрезке достаточно вычислить значения функции на его границах.

1. Подставим $x = \frac{10}{11}$:

   $$y\left(\frac{10}{11}\right) = 2 \left(\frac{10}{11}\right)^2 - 10 \cdot \frac{10}{11} + 6 \ln \left(\frac{10}{11}\right) + 5$$

2. Подставим $x = \frac{12}{11}$:

   $$y\left(\frac{12}{11}\right) = 2 \left(\frac{12}{11}\right)^2 - 10 \cdot \frac{12}{11} + 6 \ln \left(\frac{12}{11}\right) + 5$$