Упростите выражение (m^4)^7 : ((m^3)^9 * m)

Для упрощения выражения $(m^4)^7 : ((m^3)^9 * m)$, будем использовать свойства степеней.

1. Начнем с упрощения первой части выражения $(m^4)^7$. По свойству степеней $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$, получаем:

   $$(m^4)^7 = m^{4 \cdot 7} = m^{28}.$$

2. Теперь упрощаем вторую часть $(m^3)^9$. По тому же свойству степеней $(a^b)^c = a^{b \cdot c}$, получаем:

   $$(m^3)^9 = m^{3 \cdot 9} = m^{27}.$$

3. Далее выражение в знаменателе $m^{27} \cdot m$. Используем правило умножения степеней с одинаковыми основаниями $a^b \cdot a^c = a^{b+c}$, получаем:

   $$m^{27} \cdot m = m^{27 + 1} = m^{28}.$$

4. Теперь выражение выглядит так:

   $$\frac{m^{28}}{m^{28}}.$$

5. По правилу деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^b}{a^c} = a^{b-c}$, получаем:

   $$\frac{m^{28}}{m^{28}} = m^{28-28} = m^0.$$

6. По определению степени, $m^0 = 1$ (при $m \neq 0$).

Таким образом, упрощенное выражение равно $1$.