1. Возведите в квадрат: (7-3x)^2. 2. Найдите произведение двухчленов: (6m-n)(6m+n). 3. Упростите выражение: 42ab-(3a+7b)^2. 4. Преобразуйте выражение в многочлен: (m-5n)(m+5n)+(5n-1)^2. 5. Найдите, при каком значении N квадратный трехчлен будет полным квадратом некоторого двухчлена: 49m^2+N+36n^4.

1. Возведение в квадрат $(7-3x)^2$
Используем формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

2. Произведение двухчленов $(6m-n)(6m+n)$
Это классическая разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

3. Упрощение выражения $42ab - (3a+7b)^2$

1. Сначала раскрываем квадрат:

   $$(3a+7b)^2 = (3a)^2 + 2\cdot3a\cdot7b + (7b)^2 = 9a^{2} + 42ab + 49b^{2}.$$

2. Подставляем:

   $$42ab - \bigl(9a^{2} + 42ab + 49b^{2}\bigr) = 42ab - 9a^{2} - 42ab - 49b^{2}.$$

3. $42ab$ сокращается:

   $$\boxed{-9a^{2} - 49b^{2}}.$$

4. Преобразование $(m-5n)(m+5n) + (5n-1)^2$ в многочлен

1. Первая пара — снова разность квадратов:

   $$(m-5n)(m+5n) = m^{2} - 25n^{2}.$$

2. Второй квадрат:

   $$(5n-1)^2 = (5n)^2 - 2\cdot5n\cdot1 + 1^2 = 25n^{2} - 10n + 1.$$

3. Складываем:

   $$m^{2} - 25n^{2} + 25n^{2} - 10n + 1 = \boxed{m^{2} - 10n + 1}.$$

5. Подбор $N$ так, чтобы $49m^{2} + N + 36n^{4}$ был полным квадратом

Заметим, что края выражения — это квадраты:

Чтобы вся сумма стала квадратом двучлена, нужно подобрать средний член по формуле $(A\pm B)^2 = A^{2} \pm 2AB + B^{2}$.

Берём

Тогда