Упростите выражение: (4a^2)^2 - 2a^3(1 + 8a); Упростите выражение: (a + b)(a + 2) - (a - b)(a - 2) - 2ab; Докажите, что при всех целых m значение выражения делится на 7: (m + 7)(m + 5) - m(m - 2)

1. Упростим первое выражение: $(4a^2)^2 - 2a^3(1 + 8a)$.

Первое выражение можно упростить, сначала раскрывая скобки:

Теперь вторую часть выражения:

Теперь подставим оба выражения в исходное:

Упростим, сокращая одинаковые степени $a$:

Итак, упрощённое выражение: $-2a^3$.

2. Упростим следующее выражение: $(a + b)(a + 2) - (a - b)(a - 2) - 2ab$.

Для первого произведения:

Для второго произведения:

Теперь подставим все это в исходное выражение:

Упростим, раскрыв скобки:

Теперь сгруппируем подобные члены:

Сокращаем:

Получаем:

3. Теперь докажем, что выражение $(m + 7)(m + 5) - m(m - 2)$ делится на 7 при всех целых $m$.

Раскроем скобки в выражении:

Теперь раскроем скобки во второй части выражения:

Теперь подставим всё в исходное выражение:

Упростим:

Вынесем 7 за скобки:

Таким образом, выражение делится на 7 при всех целых $m$, так как оно представляется как произведение 7 на целое число $(2m+\mathrm{5<}$