Как доказать, что квадратное уравнение не имеет корней?

Коротко: для уравнения $ax^2+bx+c=0$ (где $a\neq0$) нет действительных корней тогда и только тогда, когда дискриминант отрицателен:

Это самый быстрый и общеупотребимый критерий. Ниже — несколько равносильных способов «доказать отсутствие корней», чтобы можно было выбрать удобный.

1) Через дискриминант

Считаем $D=b^2-4ac$.

• Если $D>0$ — два корня,

• $D=0$ — один (двукратный) корень,

• $D<0$ — корней в $\mathbb R$ нет.

Пример. $2x^2+4x+5=0$. $D=4^2-4\cdot2\cdot5=16-40=-24<0$ ⇒ корней нет.

2) Через завершение квадрата (без формулы корней)

Приводим к виду

Если $D<0$, то $-\dfrac{D}{4a}$ имеет тот же знак, что и $a$, а квадрат $\bigl(x+\tfrac{b}{2a}\bigr)^2\ge0$. Значит выражение всегда имеет знак $a$ и не обращается в ноль ⇒ корней нет.

Тот же пример. $2x^2+4x+5=2\bigl(x+1\bigr)^2+3>0$ при всех $x$.

3) Через вершину параболы (графический аргумент)

Рассматриваем функцию $f(x)=ax^2+bx+c$. Это парабола с вершиной в

• Если $a>0$ (ветви вверх), то корней нет ⇔ минимум $f(x_0)>0$ ⇔ $-\dfrac{D}{4a}>0$ ⇔ $D<0$.

• Если $a<0$ (ветви вниз), то корней нет ⇔ максимум $f(x_0)<0$ ⇔ $D<0$.

4) Удобные готовые формулировки

Эквивалентные критерии отсутствия корней:

• $D<0$.

• $a>0$ и $ax^2+bx+c>0$ для всех $x$ (т.е. парабола целиком выше оси $Ox$).

• $a<0$ и $ax^2+bx+c<0$ для всех $x$ (парабола целиком ниже оси).

• После завершения квадрата: $a\Bigl(x+\tfrac{b}{2a}\Bigr)^2+k$ с $ak>0$.

5) Про частный случай $a=0$

Тогда уравнение линейное $bx+c=0$. Оно не имеет корней только если одновременно $b=0$ и $c\ne0$. Но это уже не квадратное уравнение.

Этого достаточно: выберите любой из пунктов (чаще всего — проверка $D<0$) и покажите вычисление/оценку.