Решите уравнение (х – 5)² – 3(х – 5) – 4 = 0. В ответ запишите сумму корней. Найдите значение b, если известно, что уравнение 3х² – bх + 1 = 0 имеет только одно решение.

Решим оба уравнения по очереди.

1. Уравнение $(x - 5)^2 - 3(x - 5) - 4 = 0$.

Для упрощения введем замену: пусть $y = x - 5$. Тогда уравнение примет вид:

Теперь решим квадратное уравнение. Используем формулу для решения квадратного уравнения:

Таким образом, получаем два корня:

Возвращаемся к переменной $x$, используя $y = x - 5$:

Ответ на первую часть задачи: сумма корней равна $9 + 4 = 13$.

2. Уравнение $3x^2 - bx + 1 = 0\ имеет только одно решение$.

Для того чтобы квадратное уравнение имело только одно решение, дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ рассчитывается по формуле:

Для уравнения $3x^2 - bx + 1 = 0$ $a = 3$, $b = -b$, и $c = 1$, следовательно, дискриминант будет:

Чтобы уравнение имело одно решение, дискриминант должен быть равен нулю:

Таким образом, значение $b$ может быть равно $2\sqrt{3}$ или $-2\sqrt{3}$.