Докажите, что при любых значениях \( x \) и \( y \) значение выражения неотрицательно: \( 9x^2 + 24xy + 16y^2 \).

Чтобы доказать, что выражение $9x^2 + 24xy + 16y^2$ неотрицательно для любых значений $x$ и $y$, нужно представить его в виде квадрата бинома.

1. Рассмотрим выражение $9x^2 + 24xy + 16y^2$.

2. Заметим, что оно напоминает квадрат суммы бинома. Попробуем записать его как $(3x + 4y)^2$, так как квадрат бинома вида $(a + b)^2$ раскрывается по формуле:

   $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$$

3. Теперь раскроем квадрат выражения $(3x + 4y)^2$:

   $$(3x + 4y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4y + (4y)^2 = 9x^2 + 24xy + 16y^2.$$

4. Мы видим, что $9x^2 + 24xy + 16y^2$ совпадает с $(3x + 4y)^2$, то есть:

   $$9x^2 + 24xy + 16y^2 = (3x + 4y)^2.$$

5. Поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (для любого $a$ верно, что $a^2 \geq 0$), то выражение $(3x + 4y)^2 \geq 0$ для любых $x$ и $y$.

Таким образом, выражение $9x^2 + 24xy + 16y^2$ всегда неотрицательно для любых значений $x$ и $y$.