Найдите все целочисленные значения уравнения а)ху=3 б) ху=3х+у

Вот как я решал.

а) $xy=3$.
Ищем целочисленные пары $(x,y)$, произведение которых равно 3. Делители числа 3: $\pm1,\pm3$. Тогда все разложения:

• $3=1\cdot3\Rightarrow (x,y)=(1,3)$;

• $3=3\cdot1\Rightarrow (x,y)=(3,1)$;

• $3=(-1)\cdot(-3)\Rightarrow (x,y)=(-1,-3)$;

• $3=(-3)\cdot(-1)\Rightarrow (x,y)=(-3,-1)$.

Иных целочисленных разложений нет, значит это все решения.

б) $xy=3x+y$.
Перенесём всё в одну сторону и сгруппируем:

Если $x=1$, то слева $0$, справа $3$, противоречие. Значит $x\neq1$, и

Чтобы $y$ был целым, знаменатель $x-1$ должен делить числитель $3x$. Но $\gcd(x-1,x)=1$ (соседние числа взаимно просты), значит $x-1$ должен делить $3$. Возможны только

Подставляем:

• $x=0\Rightarrow y=\frac{0}{-1}=0$ → $(0,0)$;

• $x=2\Rightarrow y=\frac{6}{1}=6$ → $(2,6)$;

• $x=4\Rightarrow y=\frac{12}{3}=4$ → $(4,4)$;

• $x=-2\Rightarrow y=\frac{-6}{-3}=2$ → $(-2,2)$.

Проверка напрямую удовлетворяет уравнению. Других целочисленных $x$ нет.

Ответ:
а) $(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)$.
б) $(0,0),(2,6),(4,4),(-2,2)$.