Три положительных числа, первое из которых равно 4, составляют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической. Найдите знаменатель этой прогрессии.

Пусть три положительных числа образуют геометрическую прогрессию, причём первое равно 4. Тогда:

• $a_1 = 4$

• $a_2 = 4q$

• $a_3 = 4q^2$

где $q>0$ — знаменатель (отношение) геометрической прогрессии.

По условию, если второе число увеличить на 8, то получится арифметическая прогрессия:

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних, то есть:

Раскроем скобки и упростим:

Перенесём всё в одну сторону:

Разделим на 4:

Решим квадратное уравнение:

Отсюда:

Но знаменатель геометрической прогрессии должен быть положительным (числа положительные), значит подходит только:

Ответ: $3$.