Три числа являются последовательными членами геометрической прогрессии. Если поменять местами первое и второе числа, то они станут последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. Найдите третье число, если сумма этих трёх чисел равна 6.

Решение

Пусть три числа $a$, $b$, и $c$ являются последовательными членами геометрической прогрессии. Это означает, что:

Сумма чисел равна 6:

Если поменять местами первое и второе числа, то последовательность станет возрастающей арифметической прогрессией $b, a, c$. Для чисел арифметической прогрессии справедливо:

Подстановка и выражение через $a$, $b$, $c$

Используем уравнение (2), чтобы выразить $c$:

Подставляем $c$ из (4) в уравнение (1):

Раскроем скобки и упростим:

Теперь подставим $c$ из (4) в уравнение (3):

Найдём $b$ и $c$

Подставим $a = 2$ в уравнение (2):

Подставим $a = 2$ в уравнение (1):

Из уравнения (8) выразим $c$:

Подставим $c = 4 - b$ в уравнение (9):

Перенесём всё в одну сторону:

Решим квадратное уравнение по формуле:

Получаем два корня:

Так как числа в геометрической прогрессии положительные, берём $b = 2$.

Подставим $b = 2$ в уравнение (10):

Проверка

Для $a = 2$, $b = 2$, $c = 2$:

1. Проверим геометрическую прогрессию: $\frac{b}{a} = \frac{2}{2} = 1$, $\frac{c}{b} = \frac{2}{2} = 1$ — выполняется.
2. Проверим арифметическую прогрессию: $b, a, c = 2, 2, 2$