Для данной функции \( y = \frac{1}{2} \cos x - 2 \sin 2x \) найдите ту первообразную, график которой проходит через заданную точку \( \left( -\frac{\pi}{2}; -\frac{1}{2} \right) \).

Для нахождения первообразной функции $y = \frac{1}{2} \cos x - 2 \sin 2x$, нужно найти неопределённый интеграл этой функции и затем использовать заданную точку для нахождения постоянной интегрирования.

1. Найдём неопределённый интеграл:

Разделим интеграл на два компонента:

Для первого интеграла:

Для второго интеграла:

Используем замену $u = 2x$, тогда $du = 2dx$, и интеграл превращается в:

Теперь, объединяя оба результата, получаем первообразную:

где $C$ — постоянная интегрирования.

2. Используем заданную точку для нахождения $C$:

Нам дана точка $\left( -\frac{\pi}{2}, -\frac{1}{2} \right)$, то есть:

Подставим $x = -\frac{\pi}{2}$ в выражение для $F(x)$:

Зная, что $\sin\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$ и $\cos\left( -\pi \right) = -1$, получаем:

Мы знаем, что $F\left( -\frac{\pi}{2} \right) = -\frac{1}{2}$, поэтому:

Решаем для $C$:

3. Ответ:

Первообразная функции $y = \frac{1}{2} \cos x - 2 \sin 2x$, график которой проходит через точку $\left( -\frac{\pi}{2}; -\frac{1}{2} \right)$, имеет вид: