Разложите многочлен на множители: 1) x^6-1 2) x^8-1 3) x^4-18x^2+81 (по теореме о целочисленных

Ответы на вопрос

Отвечает Бедухов Владислав.

$x^6-1$

Это разность степеней:

x^6-1=(x^3)^2-1^2=(x^3-1)(x^3+1).

Дальше раскладываем кубы:

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1), \qquad x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).

Итог:

\boxed{x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1)}.

$x^8-1$

Снова разность квадратов:

x^8-1=(x^4)^2-1^2=(x^4-1)(x^4+1).

Теперь раскладываем $x^4-1$ :

x^4-1=(x^2)^2-1^2=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1).

А $x^4+1$ над целыми коэффициентами раскладывается так:

x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt2\,x)^2,

но это с $\sqrt2$ не подходит для целых коэффициентов. Зато есть разложение на квадратичные множители с целыми коэффициентами:

x^4+1=(x^2+\sqrt2 x+1)(x^2-\sqrt2 x+1)

— тоже нецелые коэффициенты. Поэтому в целых коэффициентах стандартный разложимый кусок — это $x^4-1$ , а $x^4+1$ дальше не разлагается на множители с целыми коэффициентами.

Итоговое разложение над $\mathbb Z$ :

\boxed{x^8-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)}.

$x^4-18x^2+81$ (по теореме о целочисленных корнях)

Рассмотрим многочлен:

P(x)=x^4-18x^2+81.

По теореме о целочисленных корнях, целые корни (если есть) делят свободный член 81, то есть возможны:

\pm1,\pm3,\pm9,\pm27,\pm81.

Проверим значения. Удобно заметить, что выражение похоже на квадрат:

x^4-18x^2+81 = (x^2)^2-18(x^2)+81.

Последние заданные вопросы в категории Математика

Разложите многочлен на множители: 1) x^6-1 2) x^8-1 3) x^4-18x^2+81 (по теореме о целочисленных корнях многочлена)

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика