B 10 № 27052. Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Задача касается двух конусов, которые имеют общую вершину, но один из них — меньший, полученный сечением большого конуса через середину его высоты.

Исходные данные:

• Объем большого конуса $V_{\text{большой}} = 16$.

• Сечение проведено через середину высоты, значит, высота меньшего конуса составляет половину высоты большого конуса.

Для решения задачи используем формулу для объема конуса:

где $r$ — радиус основания, $h$ — высота, $V$ — объем.

1. Пусть высота большого конуса — $h$, радиус основания большого конуса — $r$.
   Объем большого конуса:

   $$V_{\text{большой}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 16$$

2. При сечении через середину высоты, высота меньшего конуса будет $h_{\text{меньший}} = \frac{h}{2}$. Радиус основания меньшего конуса также будет в два раза меньше радиуса большого конуса, то есть $r_{\text{меньший}} = \frac{r}{2}$.

3. Объем меньшего конуса:

   $$V_{\text{меньший}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{меньший}}^2 h_{\text{меньший}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 \left(\frac{h}{2}\right)$$

   Упростим выражение:

   $$V_{\text{меньший}} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{r^2}{4} \cdot \frac{h}{2} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{r^2 h}{8}$$

4. Мы знаем, что объем большого конуса:

   $$V_{\text{большой}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 16$$

   Подставим это в выражение для объема меньшего конуса:

   $$V_{\text{меньший}} = \frac{1}{8} \cdot V_{\text{большой}} = \frac{1}{8} \cdot 16 = 2$$

Ответ: объем меньшего конуса равен 2.