Алексей приобрел ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

Обозначим через $k$ номер года после покупки, в течение которого Алексей продаёт бумагу:

• в течение 1-го года цена ещё $8000$ (прибавка $+1000$ будет только в конце года),

• в течение 2-го года цена $9000$,

• …

• в течение $k$-го года цена равна $8000+1000\,(k-1)$.

Если он продаёт в течение $k$-го года, то кладёт на счёт сумму

До момента «через 25 лет после покупки» деньги на счёте успеют увеличиться на $8\%$ $26-k$ раз (с конца $k$-го года по конец 25-го года включительно), значит итоговая сумма будет

Теперь сравним, выгодно ли ждать ещё один год, то есть сравним $A_{k+1}$ и $A_k$:

Ждать ещё год выгодно, если $\dfrac{A_{k+1}}{A_k}>1$, то есть

Решим неравенство:

Значит:

• при $k=1,2,3,4,5$ ждать ещё год выгодно (сумма растёт),

• начиная с $k=6$ ждать ещё год уже невыгодно (сумма начнёт уменьшаться).

Следовательно, максимум достигается при первом $k$, после которого рост прекращается, то есть при $k=6$.

Ответ: продать ценную бумагу нужно в течение 6-го года после покупки (то есть спустя 5 полных лет после покупки).