Докажите тождество: sin²t/(1 + cost) + cost = 1. И напишите, куда исчезает sint и что происходит с cost.

Докажем тождество

1) Преобразуем дробь $\dfrac{\sin^2 t}{1+\cos t}$

Используем основное тождество:

Тогда

Теперь разложим числитель как разность квадратов:

Подставляем:

Сокращаем общий множитель $(1+\cos t)$ в числителе и знаменателе (это можно делать при $1+\cos t\neq 0$, то есть $\cos t\neq -1$):

Значит,

2) Подставляем обратно в исходное выражение

Тогда всё выражение становится:

Тождество доказано (на тех $t$, где выражение определено, то есть $1+\cos t\neq 0$).

Куда “исчезает” $\sin t$?

$\sin t$ никуда не исчезает “сам по себе” — он прячется внутри $\sin^2 t$, которую мы переписали через $\cos t$:

То есть мы просто заменили $\sin^2 t$ на выражение, содержащее только $\cos t$. После этого $\sin$ в явном виде больше не нужен.

Дальше происходит ключевой шаг:

и множитель $(1+\cos t)$ сокращается с таким же множителем в знаменателе. Вот почему дробь превращается в $1-\cos t$, и следов $\sin$ уже не видно.

Что происходит с $\cos t$?

С $\cos t$ происходит “взаимное уничтожение”:

• из дроби после сокращения получается $1-\cos t$;

• затем в исходной сумме добавляется $+\cos t$.

И получается:

то есть $-\cos t$ и $+\cos t$ сокращаются, остаётся $1$.

Замечание про область определения

В исходном выражении есть знаменатель $1+\cos t$, поэтому нельзя брать $t$, где

Во всех остальных случаях равенство верно.