Даша изучает натуральные числа, которые делятся на 72 и имеют в своей десятичной записи только нули и единицы. Сколько цифр в самом маленьком из таких чисел?

Чтобы решить эту задачу, нужно найти наименьшее натуральное число, делящееся на 72, в записи которого встречаются только цифры 0 и 1. Давайте разберёмся, как подойти к этому шаг за шагом.

Шаг 1. Понять условия делимости на 72

Число делится на 72, если оно одновременно делится на 8 и на 9, поскольку $72 = 8 \times 9$.

1. Условие делимости на 8: Число делится на 8, если его последние три цифры делятся на 8.
2. Условие делимости на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Таким образом, нам нужно найти наименьшее число, записанное только цифрами 0 и 1, которое одновременно выполняет оба условия.

Шаг 2. Построение числа с цифрами 0 и 1, делящегося на 8

Так как последние три цифры числа должны делиться на 8, давайте попробуем варианты, составленные только из 0 и 1:

• 000 — не подходит (это не натуральное число).
• 001 — не делится на 8.
• 010 — не делится на 8.
• 100 — делится на 8.

Итак, последние три цифры должны быть 100, чтобы удовлетворить условию делимости на 8. Теперь нам нужно выбрать длину числа так, чтобы сумма всех цифр делилась на 9.

Шаг 3. Условие делимости на 9

Чтобы сумма цифр делилась на 9, нам нужно, чтобы общее количество единиц в числе было кратно 9. Это связано с тем, что сумма цифр числа, содержащего только 0 и 1, равна количеству единиц в этом числе.

Шаг 4. Подбор наименьшего числа, удовлетворяющего обоим условиям

Теперь мы знаем, что:

• Число должно заканчиваться на 100.
• Число должно иметь количество единиц, кратное 9.

Наименьшее возможное число, удовлетворяющее этим условиям, — это число, содержащее девять единиц и заканчивающееся на 100. Таким образом, это число будет представлено как 11111111100.

Шаг 5. Подсчёт количества цифр

Число 11111111100 содержит 9 единиц и 2 нуля, всего 11 цифр.

Ответ

Таким образом, в самом маленьком числе, состоящем только из цифр 0 и 1 и делящемся на 72, 11 цифр.