|cosx+sinx|= корень из 2 *sin2x

Для того чтобы решить уравнение $| \cos x + \sin x | = \sqrt{2} \cdot \sin 2x$, давайте рассмотрим его шаг за шагом.

1. Разберём правую часть уравнения:
   Используем тригонометрическое тождество для синуса двойного угла:

   $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

   Тогда уравнение примет вид:

   $$| \cos x + \sin x | = \sqrt{2} \cdot 2 \sin x \cos x = 2\sqrt{2} \sin x \cos x.$$

2. Рассмотрим левую часть уравнения:
   $| \cos x + \sin x |$ — это абсолютное значение суммы косинуса и синуса. Для удобства введем замену:

   $$y = \cos x + \sin x.$$

   Тогда левая часть уравнения будет равна $|y|$.

3. Анализ выражения $y = \cos x + \sin x$:
   Для дальнейшего анализа представим, что:

   $$y = \cos x + \sin x.$$

   Заметим, что выражение $\cos x + \sin x$ можно записать через формулу для косинуса суммы углов:

   $$\cos x + \sin x = \sqrt{2} \left( \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \right).$$

   Таким образом, мы можем переписать уравнение как:

   $$| \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) | = 2 \sqrt{2} \sin x \cos x.$$

4. Решение уравнения:
   Теперь мы имеем уравнение:

   $$| \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) | = 2 \sqrt{2} \sin x \cos x.$$

   Чтобы решить его, нужно рассматривать возможные случаи для $x$, такие как:

   • значения, при которых $\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$ положительны или отрицательны.

   • соответствующие значения для $\sin x \cos x$, которые могут быть выражены как $\frac{1}{2} \sin 2x$.

Таким образом, решение уравнения сводится к поиску таких значений $x$, которые удовлетворяют этому равенству.