Дано: А(0;4), В(4;2), С(2;-2), D(-2;0) • запишите уравнение окружности AB • выясните взаимное расположение окружности и точек CD • запишите уравнение прямой AC • докажите, что ABCD - квадрат

Для решения задачи шаг за шагом:

1. Уравнение окружности, описанной вокруг отрезка AB:

Даны точки $A(0;4)$ и $B(4;2)$. Окружность, описанная вокруг отрезка, будет иметь в качестве центра середину отрезка AB, а радиус — расстояние от этой середины до одной из точек (A или B).

Найдем середину отрезка AB:

Теперь вычислим расстояние от точки M до точки A (или B). Расстояние между точками $M(2, 3)$ и $A(0, 4)$ можно найти по формуле расстояния:

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке M(2, 3) и радиусом $\sqrt{5}$ будет выглядеть так:

2. Взаимное расположение окружности и точек C и D:

Теперь проверим, лежат ли точки C и D внутри, на или вне этой окружности.

Точка $C(2, -2)$ — подставим в уравнение окружности:

Поскольку 25 больше 5, точка C находится вне окружности.

Точка $D(-2, 0)$ — подставим в уравнение окружности:

Поскольку 25 больше 5, точка D также находится вне окружности.

Таким образом, обе точки $C$ и $D$ находятся вне окружности.

3. Уравнение прямой AC:

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точки $A(0, 4)$ и $C(2, -2)$, используем формулу для углового коэффициента прямой:

Теперь, зная угловой коэффициент, подставляем точку A в уравнение прямой $y - y_1 = k(x - x_1)$:

Таким образом, уравнение прямой AC:

4. Доказательство того, что ABCD — квадрат:

Чтобы доказать, что ABCD — квадрат, нужно выполнить несколько шагов:

1. Проверим, что все стороны имеют одинаковую длину.

Расстояние между точками A и B:

Расстояние между точками B и C:

Расстояние между точками C и D: