Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 360 км, выехали одновременно два автомобиля. За 3 часа первый из них прошел расстояние на 30 км больше, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если известно, что на весь путь первый автомобиль затратил на полчаса меньше, чем второй.

Задача сводится к системе уравнений. Давайте обозначим скорости автомобилей как $v_1$ и $v_2$ (в км/ч) — соответственно для первого и второго автомобиля.

1. Мы знаем, что оба автомобиля выехали одновременно, а через 3 часа первый автомобиль проехал на 30 км больше второго. Это дает следующее уравнение:

или

делим обе части на 3:

То есть, скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше, чем у второго.

2. Следующее условие: первый автомобиль затратил на полчаса меньше времени на весь путь. Пусть время, которое затратил второй автомобиль на путь, равно $t_2$, тогда для первого времени будет $t_1 = t_2 - 0,5$.

Время, которое автомобиль затрачивает на весь путь, можно выразить как $t = \frac{360}{v}$, где $v$ — скорость автомобиля. Для второго автомобиля:

Для первого автомобиля:

Так как $t_1 = t_2 - 0,5$, мы получаем:

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

Теперь, чтобы решить систему, подставим $v_1 = v_2 + 10$ из первого уравнения:

Умножим обе части на $v_2(v_2 + 10)$, чтобы избавиться от знаменателей:

Раскроем скобки:

Сократим $720v_2$ с обеих сторон:

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

Корни уравнения: