В банк отправлено 4000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. … а) три ошибочно укомплектованных пакета; б) не более трех пакетов.

Для того чтобы решить эту задачу, нужно использовать распределение вероятностей, поскольку речь идет о событиях, происходящих с определенной вероятностью для каждого пакета.

Задано:

• Количество пакетов, отправленных в банк, равно 4000.

• Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, составляет 0,0001.

Задача решается с использованием биномиального распределения. Однако для таких случаев, когда число испытаний (в данном случае пакетов) очень велико (4000), можно использовать приближение нормальным распределением, согласно Центральной предельной теореме.

В данном случае:

• $n = 4000$ (общее количество пакетов),

• $p = 0,0001$ (вероятность ошибки для одного пакета).

Для биномиального распределения можно рассчитать:

• Математическое ожидание (среднее): $\mu = n \times p = 4000 \times 0,0001 = 0,4$.

• Дисперсия: $\sigma^2 = n \times p \times (1 - p) = 4000 \times 0,0001 \times 0,9999 \approx 0,39996$.

• Стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{0,39996} \approx 0,632$.

Теперь можно переходить к решению частей задачи.

а) Три ошибочно укомплектованных пакета

Нам нужно найти вероятность того, что количество ошибочно укомплектованных пакетов будет ровно 3. Для этого используем приближение нормальным распределением. Стандартная нормализация для этого будет следующей:

Нормируем значение:

Теперь можно найти вероятность для такого значения $z$ по таблице нормального распределения. Поскольку значение $z$ очень высоко, вероятность того, что количество ошибочно укомплектованных пакетов будет ровно 3, чрезвычайно мала. Это соответствует очень малой вероятности вблизи 0.

б) Не более трех пакетов

Теперь нужно найти вероятность того, что количество ошибочно укомплектованных пакетов будет не более 3. Мы ищем вероятность того, что количество ошибок будет меньше или равно 3, то есть $P(X \leq 3)$.

Используя нормальное приближение, сначала нормируем значение:

Из таблицы нормального распределения для $z = 4,12$ вероятность, соответствующая этому значению, составляет почти 1 (точнее, около 1). Это означает, что вероятность того, что ошибочно укомплектованных пакетов будет не более 3, почти равна 1.

Таким образом:

• а) Вероятность того, что будет ровно 3 ошибочно укомплектованных пакета, крайне мала.

• б) Вероятность того, что ошибочно укомплектованных пакетов будет не более трех, очень высока, практически равна 1.